Signe d'un polynôme de degré 2 sous forme factorisée

Propriétés

• Si un polynôme de degré 2 défini sous forme factorisée par \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\) admet deux racines distinctes \(x_{1}\) et \(x_{2}\), alors ce polynôme est du signe de \(-a\) pour les valeurs de \(x\) comprises entre les racines \(x_{1}\) et \(x_{2}\).

• Si un polynôme de degré 2 défini sous forme factorisée par \(f(x)=a(x-x_{1})^2\) admet une racine double (\(x_{1}=x_{2}\)) alors ce polynôme est du signe de \(a\) de part et d'autre de sa racine.

• Si un polynôme de degré 2 n'admet aucune racine, alors ce polynôme est du signe de \(a\).

Exemple

Le polynôme de degré 2 défini par \(f(x)=2(x-1)(x-2)\) admet deux racines distinctes \(x_{1}=1\) et \(x_{2}=2\).

Dans ce cas \(a\) est positif (\(a=2\)).

On a donc :

• \(f(x)<0\) pour \(1<x<2\) (du signe de \(-a\) donc négatif entre les racines).
• \(f(x)>0\) pour \(x>2\) et pour \(x<1\) (du signe de \(a\) donc positif à l'extérieur des racines).